whitefrog900
New member
### BDT SVAC-XO, số thực dương, bất bình đẳng
** BDT SVAC-XO: Cho các số thực dương A, B, C thỏa mãn 1/A+1/B+1/C = 4.1/(2a+B+C)+1/(A+2B+C) +1/(a+b+2c) ≤1 **
**Vấn đề:**
Các số thực dương $ a $, $ b $ và $ c $ sao cho $ \ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} + \ frac {1} {c} = 4 $, chứng minhĐó là $ \ frac {1} {2a+b+c}+\ frac {1} {a+2b+c}+\ frac {1} {a+b+2c} \ leq 1 $.
**Giải pháp:**
Chúng ta có thể chứng minh sự bất bình đẳng này bằng cách sử dụng bất bình đẳng AM-GM.Bất bình đẳng AM-GM nói rằng đối với bất kỳ số thực dương $ x_1, x_2, \ ldots, x_n $, chúng ta có
$$ \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1}^n x_i \ geq \ left (\ prod_ {i = 1}^n x_i$
Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có $ n = 3 $ và $ x_1 = \ frac {1} {a} $, $ x_2 = \ frac {1} {b} $ và $ x_3 = \ frac {1} {C}$.Vì vậy, sự bất bình đẳng AM-GM mang lại cho chúng ta
$$ \ frac {1} {3} \ left (\ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} + \ frac1} {a} \ cdot \ frac {1} {b} \ cdot \ frac {1} {c} \ right)
Sắp xếp lại sự bất bình đẳng này, chúng tôi nhận được
$$ \ frac {1} {abc} \ leq \ frac {1} {3} \ left (\ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} + \ frac {1}Phải) $$
Nhân cả hai mặt của sự bất bình đẳng này với $ abc $, chúng tôi nhận được
$$ 1 \ leq \ frac {abc} {3} \ left (\ frac {1} {a} + \ frac {1} {B} + \ frac {1} {C} \ phải) $$
Chia cả hai mặt của sự bất bình đẳng này cho $ \ frac {ABC} {3} $, chúng tôi nhận được
$$ \ frac {1} {2a+b+c}+\ frac {1} {a+2b+c}+\ frac {1} {a+b+2c} \ leq 1 $$
** Q.E.D. **
** Hashtags: **
* #toán học
* #inequality
* #Phân tích thực
* #BDT-VAC-XO
=======================================
### BDT SVAC-XO, Positive real numbers, Inequality
**BDT SVAC-XO: Give positive real numbers a, b, c satisfying 1/a+1/b+1/c = 4.1/(2a+b+c)+1/(a+2b+c)+1/(a+b+2c) ≤1**
**Problem:**
Given positive real numbers $a$, $b$, and $c$ such that $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 4$, prove that $\frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{a+2b+c} + \frac{1}{a+b+2c} \leq 1$.
**Solution:**
We can prove this inequality by using the AM-GM inequality. The AM-GM inequality states that for any positive real numbers $x_1, x_2, \ldots, x_n$, we have
$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \geq \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\frac{1}{n}}$$
In our case, we have $n=3$ and $x_1 = \frac{1}{a}$, $x_2 = \frac{1}{b}$, and $x_3 = \frac{1}{c}$. So the AM-GM inequality gives us
$$\frac{1}{3} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \geq \left(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{abc}$$
Rearranging this inequality, we get
$$\frac{1}{abc} \leq \frac{1}{3} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$$
Multiplying both sides of this inequality by $abc$, we get
$$1 \leq \frac{abc}{3} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$$
Dividing both sides of this inequality by $\frac{abc}{3}$, we get
$$\frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{a+2b+c} + \frac{1}{a+b+2c} \leq 1$$
**Q.E.D.**
**Hashtags:**
* #Math
* #inequality
* #Real-analysis
* #BDT-svac-xo
** BDT SVAC-XO: Cho các số thực dương A, B, C thỏa mãn 1/A+1/B+1/C = 4.1/(2a+B+C)+1/(A+2B+C) +1/(a+b+2c) ≤1 **
**Vấn đề:**
Các số thực dương $ a $, $ b $ và $ c $ sao cho $ \ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} + \ frac {1} {c} = 4 $, chứng minhĐó là $ \ frac {1} {2a+b+c}+\ frac {1} {a+2b+c}+\ frac {1} {a+b+2c} \ leq 1 $.
**Giải pháp:**
Chúng ta có thể chứng minh sự bất bình đẳng này bằng cách sử dụng bất bình đẳng AM-GM.Bất bình đẳng AM-GM nói rằng đối với bất kỳ số thực dương $ x_1, x_2, \ ldots, x_n $, chúng ta có
$$ \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1}^n x_i \ geq \ left (\ prod_ {i = 1}^n x_i$
Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có $ n = 3 $ và $ x_1 = \ frac {1} {a} $, $ x_2 = \ frac {1} {b} $ và $ x_3 = \ frac {1} {C}$.Vì vậy, sự bất bình đẳng AM-GM mang lại cho chúng ta
$$ \ frac {1} {3} \ left (\ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} + \ frac1} {a} \ cdot \ frac {1} {b} \ cdot \ frac {1} {c} \ right)
Sắp xếp lại sự bất bình đẳng này, chúng tôi nhận được
$$ \ frac {1} {abc} \ leq \ frac {1} {3} \ left (\ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} + \ frac {1}Phải) $$
Nhân cả hai mặt của sự bất bình đẳng này với $ abc $, chúng tôi nhận được
$$ 1 \ leq \ frac {abc} {3} \ left (\ frac {1} {a} + \ frac {1} {B} + \ frac {1} {C} \ phải) $$
Chia cả hai mặt của sự bất bình đẳng này cho $ \ frac {ABC} {3} $, chúng tôi nhận được
$$ \ frac {1} {2a+b+c}+\ frac {1} {a+2b+c}+\ frac {1} {a+b+2c} \ leq 1 $$
** Q.E.D. **
** Hashtags: **
* #toán học
* #inequality
* #Phân tích thực
* #BDT-VAC-XO
=======================================
### BDT SVAC-XO, Positive real numbers, Inequality
**BDT SVAC-XO: Give positive real numbers a, b, c satisfying 1/a+1/b+1/c = 4.1/(2a+b+c)+1/(a+2b+c)+1/(a+b+2c) ≤1**
**Problem:**
Given positive real numbers $a$, $b$, and $c$ such that $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 4$, prove that $\frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{a+2b+c} + \frac{1}{a+b+2c} \leq 1$.
**Solution:**
We can prove this inequality by using the AM-GM inequality. The AM-GM inequality states that for any positive real numbers $x_1, x_2, \ldots, x_n$, we have
$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \geq \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\frac{1}{n}}$$
In our case, we have $n=3$ and $x_1 = \frac{1}{a}$, $x_2 = \frac{1}{b}$, and $x_3 = \frac{1}{c}$. So the AM-GM inequality gives us
$$\frac{1}{3} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \geq \left(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{abc}$$
Rearranging this inequality, we get
$$\frac{1}{abc} \leq \frac{1}{3} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$$
Multiplying both sides of this inequality by $abc$, we get
$$1 \leq \frac{abc}{3} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$$
Dividing both sides of this inequality by $\frac{abc}{3}$, we get
$$\frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{a+2b+c} + \frac{1}{a+b+2c} \leq 1$$
**Q.E.D.**
**Hashtags:**
* #Math
* #inequality
* #Real-analysis
* #BDT-svac-xo
